FDTD法について

KeyFDTDで使用しているFDTD法について1次元のFDTD解析を通して紹介します。
FDTD法は（Finite Difference Time Domain）の略で有限差分時間領域法などと訳されます。

FDTD法の特徴として
・ 解析対象が波長と同程度の大きさの解析に向く
・ 主に解析する周波数帯はGHz～THz
・ 過渡応答がわかる
等が挙げられます。

手法としては以下のマクスウェル方程式（微分形）を時間空間的に離散化して、時間毎の電磁界を逐次計算していきます。
$$ nabla times boldsymbol {E}(boldsymbol {r},t) = -frac {partial  boldsymbol {B}(boldsymbol {r},t)} {partial  t}$$
$$nabla times boldsymbol {H}(boldsymbol {r},t) = -frac {partial  boldsymbol {D}(boldsymbol {r},t)} {partial  t} + boldsymbol {J}(boldsymbol {r},t)$$
$$nabla cdot boldsymbol {D}(boldsymbol {r},t) = rho(boldsymbol {r},t)$$
$$nabla cdot boldsymbol {B}(boldsymbol {r},t) = 0$$

離散化とは上記のような式をPCで計算できるような形（四則演算のみの形）に変換することを指します。
FDTD法では時間と空間に対してこの離散化を行います。
1次元についてマクスウェル方程式を離散化した例を以下に示します。微分や∇の記号が無くなり、四則演算のみになっています。
離散化のやり方にはいくつも種類があり、この式はその一例です。

$$ boldsymbol {E}^{n}_{x,mDelta z} =  frac {1-frac {sigma Delta t}{2 varepsilon}} {1+frac {sigma Delta t}{2 varepsilon}} E^{n-1}_{x,mDelta z} + frac{frac {Delta t}{varepsilon}} {1+frac {sigma Delta t}{2 varepsilon}}  frac {H^{n-1/2}_{y,(m+1/2)Delta z} – H^{n-1/2}_{y,(m-1/2)Delta z}} {Delta z} $$

$$  boldsymbol {H}^{n+frac {1} {2}}_{y,(m-1/2)Delta z} = H^{n- frac {1} {2} }_{y,(m-1/2)Delta z} – frac {Delta t}{mu}   frac {E^{n}_{x,mDelta z} – E^{n}_{x,(m-1)Delta z}} {Delta z}  $$

離散化過程の詳細を次回以降に掲載していきます。