FDTD法ではマクスウェル方程式を時間、空間で離散化して電磁界を計算します。
今回はその離散化について取り上げます。

離散化手法にはいくつか種類がありますが、今回は差分法を取り上げ、
・ 前方差分
・ 中心差分
・ 後方差分
の3つについて紹介します。

時間tによって変化する電解Eが以下の微分方程式で与えられるとします。

$$  frac{partial boldsymbol{E}}{partial t} = f(t) $$

ごく短い時間をΔtとし、n倍のΔt秒後における電解Eと、(n＋1)倍のΔt秒後のEを、

$$  boldsymbol{E}(nDelta t) = boldsymbol{E}^n $$

$$  boldsymbol{E}((n+1)Delta t) = boldsymbol{E}^{n+1} $$

と表記するとします。

この時、最初の微分方程式を前方、中心、後方でそれぞれ差分化すると、

前方差分
$$  frac{partial boldsymbol{E}}{partial t} approx  frac{boldsymbol{E}^{n+1}-boldsymbol{E}^{n}}{(n+1)Delta t-nDelta t} $$
$$  frac{boldsymbol{E}^{n+1}-boldsymbol{E}^{n}}{(n+1)Delta t-nDelta t} = f(t+Delta t)-f(t) $$
$$  boldsymbol{E}^{n+1}=boldsymbol{E}^{n}+(f(t+Delta t)-f(t))Delta t $$

中心差分
$$  frac{partial boldsymbol{E}}{partial t} approx  frac{boldsymbol{E}^{n+1}-boldsymbol{E}^{n-1}}{(n+1)Delta t-(n-1)Delta t} $$
$$  frac{boldsymbol{E}^{n+1}-boldsymbol{E}^{n-1}}{(n+1)Delta t-(n-1)Delta t} = f(t+Delta t) – f(t-Delta t) $$
$$  boldsymbol{E}^{n+1}=boldsymbol{E}^{n-1}+(f(t+Delta t)-f(t-Delta t)) 2Delta t $$

後方差分
$$  frac{partial boldsymbol{E}}{partial t} approx frac{boldsymbol{E}^{n}-boldsymbol{E}^{n-1}}{nDelta t-(n-1)Delta t}  $$
$$  frac{boldsymbol{E}^{n}-boldsymbol{E}^{n-1}}{nDelta t-(n-1)Delta t} = f(t)-f(t-Delta t) $$
$$  boldsymbol{E}^{n}=boldsymbol{E}^{n-1}+(f(t)-f(t-Delta t))Delta t $$

のような式になります。

前方、後方差分は1つ前の値から現在、もしくは現在の値から1つ後の値を計算していますが、中心差分は1つ前の値から1つ後の値を計算しています。
そのため上の3つの差分では、通常は中心差分を用いるのが最も差分の精度がよいです。
上記の式において前方、後方差分の式を「1次精度である」、中心差分の式を「2次精度である」等といいます。

次回以降に中心差分を用いてマクスウェル方程式を離散化していきます。