1次元FDTD第2回に紹介した離散化を使ってマクスウェル方程式を離散化していきます。

まず、マクスウェル方程式

$$nabla cdot boldsymbol {D}(boldsymbol {r},t) = rho(boldsymbol {r},t) tag{1} $$ $$nabla cdot boldsymbol {B}(boldsymbol {r},t) = 0 tag{2} $$ $$nabla times boldsymbol {H}(boldsymbol {r},t) = -frac {partial  boldsymbol {D}(boldsymbol {r},t)} {partial  t} + boldsymbol {J}(boldsymbol {r},t) tag{3} $$ $$nabla times boldsymbol {E}(boldsymbol {r},t) = -frac {partial  boldsymbol{B}(boldsymbol {r},t)} {partial  t} tag{4} $$

においてD、B、JとE、Hは以下のような関係です。
$$ boldsymbol{D} = varepsilon boldsymbol {E} ,   boldsymbol{B} = mu boldsymbol {H} , boldsymbol{J} = sigma boldsymbol {E}  $$

式(3)、(4)にそれぞれ代入し、式変形すると以下のようになります。以後 ( (boldsymbol {r},t) ) は共通なので省略します。

$$ frac {partial  boldsymbol {E}} {partial  t} = -frac {sigma} {varepsilon} boldsymbol{E} + frac {1} {varepsilon}(nabla times boldsymbol{H}) tag{8} $$

$$ frac {partial  boldsymbol{H}} {partial  t} = – frac {1} {mu} (nabla times boldsymbol{E}) tag{9} $$

この式(8)、(9)から時間について中心差分を取りますが、この際に電界と磁界の時間が交互に並ぶように時間配置を行います。
電界、磁界はそれぞれ $$boldsymbol {E}^{n-1}、boldsymbol {E}^{n}、boldsymbol {E}^{n+1}、…$$ $$ boldsymbol{H}^{n – frac {1} {2}}、boldsymbol{H}^{n + frac {1} {2}} 、 boldsymbol{H}^{n + frac {3} {2}} 、…$$ というように配置します。

そして、電界、磁界それぞれの中心差分を取ると、
$$  left. frac{partial boldsymbol{E}}{partial t}right|_{t = (n- frac {1}{2}) Delta t} = frac{boldsymbol{E}^{n}-boldsymbol{E}^{n-1}}{Delta t} tag{10} $$ $$  left. frac{partial boldsymbol{H}}{partial t}right|_{t = n Delta t} = frac{boldsymbol{H}^{n+ frac {1}{2}}-boldsymbol{H}^{n- frac {1}{2}}} {Delta t} tag{11} $$ となります。
この式(10)、(11)を式(8)、(9)に代入すると、
$$ frac{boldsymbol{E}^{n}-boldsymbol{E}^{n-1}}{Delta t} = -frac {sigma}{varepsilon} boldsymbol{E}^{n- frac {1}{2}} + frac{1}{varepsilon}(nabla times boldsymbol{H}^{n- frac {1}{2}}) tag{12} $$

$$ frac{boldsymbol{H}^{n+ frac {1}{2}}-boldsymbol{H}^{n- frac {1}{2}}} {Delta t} = -frac {1}{mu} (nabla times boldsymbol{E}^n) tag{13} $$

Eⁿ、H^n+1/2について解くと、
$$  boldsymbol {E}^{n} =  frac {1-frac {sigma Delta t}{2 varepsilon}} {1+frac {sigma Delta t}{2 varepsilon}} boldsymbol{E}^{n-1} + frac{frac {Delta t}{varepsilon}} {1+frac {sigma Delta t}{2 varepsilon}}  (nabla times boldsymbol{H}^{n-frac{1}{2}}) tag{14} $$ $$  boldsymbol {H}^{n+ frac{1}{2}} = boldsymbol {H}^{n-frac {1}{2}} – frac{Delta t}{mu} (nabla times boldsymbol {E}^n) tag{15} $$ のようになります。

以上により時間について離散化ができました。次回に空間の離散化を行います。