これまでにマクスウェル方程式を時間、空間について離散化しました。
今回は空間と時間の式を一つの式に合成します。

マクスウェル方程式のアンペールの式、ファラデーの式から時間について以下のように離散化しました。

$$  boldsymbol {E}^{n} =  frac {1-frac {sigma Delta t}{2 varepsilon}} {1+frac {sigma Delta t}{2 varepsilon}} boldsymbol{E}^{n-1} + frac{frac {Delta t}{varepsilon}} {1+frac {sigma Delta t}{2 varepsilon}}  (nabla times boldsymbol{H}^{n-frac{1}{2}}) tag{1} $$ $$  boldsymbol {H}^{n+ frac{1}{2}} = boldsymbol {H}^{n-frac {1}{2}} – frac{Delta t}{mu} (nabla times boldsymbol {E}^n) tag{2} $$

この式に、空間について離散化した以下の式を代入します。
$$
nabla times boldsymbol{E}
= frac{partial E_x}{partial z} approx frac {E_{x k Delta z} – E_{x (k-1) Delta z}} {Delta z}
tag{3} $$
$$
nabla times boldsymbol{H}
= – frac{partial H_y}{partial z} approx frac {H_{y (k+1/2) Delta z} – H_{y (k-1/2) Delta z}} {Delta z}
tag{4} $$

すると式（5）（6）のようになります。

$$  boldsymbol {E}^{n}_{x} =  frac {1-frac {sigma Delta t}{2 varepsilon}} {1+frac {sigma Delta t}{2 varepsilon}} boldsymbol{E}^{n-1}_{x} + frac{frac {Delta t}{varepsilon}} {1+frac {sigma Delta t}{2 varepsilon}}  (frac {H^{n – frac{1}{2}}_{y (k+1/2) Delta z} – H^{n – frac{1}{2}}_{y (k-1/2) Delta z}} {Delta z}) tag{5} $$
$$  boldsymbol {H}^{n+ frac{1}{2}}_{y} = boldsymbol {H}^{n-frac {1}{2}}_{y} – frac{Delta t}{mu} (frac {E^{n}_{x k Delta z} – E^{n}_{x (k-1) Delta z}} {Delta z}) tag{6} $$

以上によりマクスウェル方程式を時間、空間について離散化ができました。
この式において、( sigma )、( varepsilon )、( mu )はそれぞれ物質の導電率、誘電率、透磁率を表し、( Delta t )、( Delta z )は時間、空間の差分の幅であるため、計算前に予め決まっています。
よって、一つ前の時間の電界（( boldsymbol{E}^{n-1}_{x} )）、磁界（( boldsymbol {H}^{n-frac {1}{2}}_{y} )）から次の時間の電界（( boldsymbol{E}^{n}_{x} )）、磁界（( boldsymbol {H}^{n+frac {1}{2}}_{y} )）が計算できることがわかります。

この式をプログラミングすることでFDTD解析を行うことができます。