前回までに空間、時間についてマクスウェル方程式の離散化しました。

空間、時間の差分式は共に2次精度の式を導出しましたが、空間については精度を上げることもできます。
時間2次精度、空間4次精度の差分式を求めます。

近似の精度はテイラー展開のどこから切り捨てるかで決まります。

( f(x) )を例として取り上げると( f(x pm frac{Delta x}{2}) )と、( f(x pm frac{3 Delta x}{2}) )をそれぞれテイラー展開すると、式（1）、（2）のようになります。

$$
f(x pm frac {Delta x} {2}) = f(x) pm f^{prime}(x) frac {Delta x} {2} + frac {1} {2!}f^{prime prime}(x) (frac {Delta x} {2})^2 pm frac {1} {3!} f^{prime prime prime}(x) (frac {Delta x} {2})^3 + cdot cdot cdot tag{1}
$$

$$
f(x pm frac {3 Delta x} {2}) = f(x) pm f^{prime}(x) frac {3 Delta x} {2} + frac {1} {2!} f^{prime prime}(x) (frac {3 Delta x} {2})^2 pm frac {1} {3!} f^{prime prime prime}(x) (frac {3 Delta x} {2})^3 + cdot cdot cdot tag{2}
$$

( f(x + frac{Delta x}{2}) – f(x – frac{Delta x}{2}) )、( f(x + frac{3 Delta x}{2}) – f(x – frac{3 Delta x}{2}) )をそれぞれ求めると式（3）、（4）のようになります。

$$
f(x + frac {Delta x} {2}) – f(x – frac {Delta x} {2}) = 2 f^{prime}(x) frac {Delta x} {2} + frac {2} {3!} f^{prime prime prime}(x) (frac {Delta x} {2})^3 + cdot cdot cdot
 approx f^{prime}(x) Delta x + frac {1} {24} f^{prime prime prime}(x) Delta x^3 tag{3}
$$

$$
f(x + frac {3 Delta x} {2}) – f(x – frac {3 Delta x} {2}) =
2 f^{prime}(x) frac {3 Delta x} {2} +
2 frac {1} {6} f^{prime prime prime}(x) (frac {3 Delta x} {2})^3 + cdot cdot cdot
approx 3 f^{prime}(x) Delta x +
frac {27} {24} f^{prime prime prime}(x) Delta x tag{4}
$$

(f^{prime prime prime}(x) )を消すために27x(3)-(4)を計算し、式変形すると(5)のようになります。

$$
27{f(x + frac {Delta x} {2}) – f(x – frac {Delta x} {2})}
– {f(x + frac {3 Delta x} {2}) – f(x – frac {3 Delta x} {2})}
 = 27 f^{prime}(x) Delta x –  3 f^{prime}(x) Delta x $$

$$f^{prime}(x)
= frac {9} {8} frac {1} {Delta x} {f(x + frac {Delta x} {2}) – f(x – frac {Delta x} {2})}
– frac {1} {24} frac {1} {Delta x} {f(x + frac {3 Delta x} {2}) – f(x – frac {3 Delta x} {2})}
 tag{5}
$$

この式を( E_x )、( H_y )の2次精度空間差分の代わりに使用すると(6)(7)のようになります。

$$  boldsymbol {E}^{n}_{x} =  
frac {1-frac {sigma Delta t}{2 varepsilon}} {1+frac {sigma Delta t}{2 varepsilon}}
 boldsymbol{E}^{n-1}_{x}
+ frac{frac {Delta t}{varepsilon}} {1+frac {sigma Delta t}{2 varepsilon}}
 (frac {9} {8} frac {H^{n – frac{1}{2}}_{y (k+1/2) Delta z} – H^{n – frac{1}{2}}_{y (k-1/2) Delta z}} {Delta z} – frac {1} {24} frac {H^{n – frac{1}{2}}_{y (k+3/2) Delta z} – H^{n – frac{1}{2}}_{y (k-3/2) Delta z}} {Delta z}) tag{6} $$

$$  boldsymbol {H}^{n+ frac{1}{2}}_{y} =
boldsymbol {H}^{n-frac {1}{2}}_{y} –
frac{Delta t}{mu}
(frac {9} {8} frac {E^{n}_{x k Delta z} – E^{n}_{x (k-1) Delta z}} {Delta z}
frac {1} {24}  frac {E^{n}_{x (k+1)Delta z} – E^{n}_{x (k-2) Delta z}} {Delta z}) tag{7} $$

以上で時間2次精度、空間4次精度の差分式が求まりました。
この式を用いることで空間2次精度より精度良く電磁界を計算できます。