Electromagnetic Wave Analysis Using the FDTD Method – Governing Equations, Differentiation, and Finite Differences

【電磁波解析の基礎用語】

Basic Terms of Electromagnetic Wave Analysis:Maxwell’s Equations,Control Volume and Differential Operators,Differentiation and Finite Differences

Maxwell方程式

Maxwell方程式を微分型で書いたのが(eq.1.a)～(eq.1.d)です。時間と位置における物理量を表すため、従属変数はすべて時間と位置ベクトルの関数として表されます。式中の文字変数はそれぞれ電界、磁界、電束密度、磁束密度、電流密度、電荷密度です。

(eq.1.a)は磁力線が閉曲線であることを示しており、また右辺が0なので磁気単極子が存在しないことを表しています。(eq.1.b)は磁場の時間変化が電界の回転を発生（電磁誘導）させることを示しています。(eq.1.c)はある体積を見たとき、その表面から出る電束密度ベクトルが、内部に含まれる電荷密度に等しいことを表しています。(eq.1.a)と対比させると右辺の値が存在しますが、これは電荷単極子が存在することを意味しています。(eq.1.d)は電束密度の時間変化と電流密度が磁場の回転を発生することを意味しています。

この方程式系には四則演算と時間と空間に関する1回微分計算のみが含まれているため後述の離散化が容易です。またこれらの方程式から電磁波の波動方程式も導出できます。

コントロールボリュームと微分演算子

コントロールボリュームは物理量を観測する空間のことです。日本語では検査体積ですが、コントロールボリューム（CV）の方が一般的です。

Maxwell方程式はCVの電磁界特性を微分演算子を用いて記述したものです。微分演算子は数値解析やシミュレーションを行う場合、理解が必要です。厳密な意味での数学的定義の理解は後回しにして、その演算子が物理的に意味することを理解することが重要です。上記説明ではCVの収支と紹介していますが発散の意味もあります。

微分と差分

微分の定義を数学で最初に学ぶのは高校生の頃です。その導入は時間-移動距離のグラフで平均変化率の極限が微分だという説明だった記憶があります。

コンピュータで数値計算するにあたり微分演算子はどのように扱うでしょうか。数値計算では、数学の学習とは反対に微分を差分（平均変化率）で近似します。この差分近似により、コンピュータが得意な四則演算のみで微分を計算できます。

FDTD法は微分型のMaxwell方程式を離散化（差分近似）する点に特徴があります。ベクトルの回転に空間微分が隠れている点も踏まえ、Maxwell方程式には空間微分と時間微分が含まれています。従ってFDTD法の電磁波解析ソフトウェアには空間の離散化と時間の離散化の手続きが必要です。